دانلود پایان نامه

پس از به دست آوردن مقدار چشمد اشتی تانسور تکانه – انرژی در دو بعد فضا زمان، به محاسبه انرژی کل خلاء در دو مرحله، یکی در فاصله محدود همراه با شرایط مرزی و دیگری در خلاء مینکوفسکی پرداخته ایم. سپس دو مقدار فوق را با تابع نمائی منظم سازی نموده و در پایان انرژی خلاء باز به هنجارشده را در فاصله محدود، محاسبه می کنیم و با مشتق گیری نسبت به با فاصله نیروی کازیمیر میدان اسکالر را محاسبه می کنیم.
در بخش دوم این فصل نیروی کازیمیر را برای میدان الکترومغناطیسی همچون روش فوق و با استفاده از مولفه میدان به دست آمده در بخش 2-4 به دست آورده ایم. با این تفاوت که در مبحث های جداگانه به طور مفصل منظم سازی انرژی حالت پایه را با تابع خفیف فرکانسی، تابع زتای ریمان و تابع قطع انجام داده ایم. در مورد منظم سازی با تابع قطع کار خود را از مؤلفه میدان الکترومغناطیسی 2-4،‌شروع کرده و تابع قطع را برای متناهی کردن انرژی نقطه صفر به کار برده ایم.
بخش سوم این فصل به فشار تابشی خلاء که یک توضیح فیزیکی برای نیروی کازیمیر می باشد، اختصاص دارد. در این بخش با استفاده از اختلاف فشار بیرونی بین صفحات و فشار درونی اعمال شده و به وسیله مدها و نیز استفاده از فرمول اویلر- ماکلارین برای منظم سازی به نتیجه نیروی کازیمیر بر واحد سطح رسیده ایم.
4-1 میدان اسکالر کوانتیده در فاصله محدود
در این بخش برای شروع کار و محاسبه نیروی کازیمیر میدان اسکالر، یک میدان اسکالر حقیقی که در فاصله مکانی تعریف شده با شرایط مرزی زیر را تعریف می کنیم[78]:
(4-1)
این کلی ترین نمونه ای است که در آن اثر کازیمیر ظاهر می شود.سادگی شرایط (فضای یک بعدی و میدان یک مولفه ای)،این امکان را می دهد که در مورد محاسبه نیروی کازیمیر در این مورد به طور واضح بحث کنیم.با توجه به معادلات چگالی لاگرانژی، کنش و همچنین معادله اویلر- لاگرانژ برای این میدان، (2-19)،(2-20) و(2-21)، می توانیم معادله میدان اسکالر را این گونه بنویسیم:
(4-2)
که m جرم میدان است. حال با امتحان کردن جواب های بسامدی مثبت ومنفی تحت شرایط مرزی، به دست می آید:
(4-3)
که:
این همان معادله( 2-52) برای میدان اسکالردر یک بعد است که با در نظر گرفتن شرایط مرزی به عنوان قیود دیراک در فصل دوم به دست آورده بودیم.
حال روابط تعامد و هنجارسازی مربوط به معادله(4-3) را می نویسیم:
(4-4)
در این جا با در نظر گرفتن میدان آزاد، کواتنش استاندارد میدان به وسیله بسط زیر نمایش داده می شود:
(4-5)
که مقادیر an و عملگرهای نابودی و خلق تحت روابط جابه جایی:
(4-6)
هستند. حالت خلاء در حضور شرایط مرزی با عبارت بیان می شود. حال باید انرژی این حالت را در مقایسه با انرژی خلاء میدان اسکالر تشریحی در محور نامتناهی پیدا کنیم. عملگر چگالی انرژی با مولفه – تانسور تکانه انرژی میدان اسکالر در دو بعد فضا- زمان این گونه نشان داده می شود[79] :
(4-7)
از جایگزینی معادله (4-5) در معادله(4-7) و نیز با در نظر گرفتن معادلات (4-3( و(4-6) به راحتی به
دست می آید: