دانلود پایان نامه

(4-60)
که می توان از آن به منظور بدست آوردن انتگرال زیر استفاده نمود:
(4-61)
اکنون با استفاده از این رابطه می توانیم مقدار چشمداشتی r2 را بشکل زیر محاسبه نماییم:
(4-62)
حال جا با درنظر گرفتن سیستمی با تقارن دایره ای که اندازه آن با رابطه Sداده می شود، می توان به سبب اندازه متناهی آن، مقدار بیشینه ای برای شعاع آن تعریف نمود که خود متناظر با یک مقدار بیشینه برای m می باشد که از رابطه زیر:
(4-63)
بدست می آید. لازم به ذکر است که از حالتهای که برای آنها برقرار است صرف نظر خواهد شد چرا که این حالتها مکانی فرانر از خواهند داشت . اکنون آشکار است به عبارت دیگر m برابر تعداد کل حالتهای متناظر با تراز انرژی n=0 است.
به عبارت دیگر m تبهگنی این تراز را نشان می دهد. بنابراین تبهگنی به ازای واحد سطح با رابطه :
(4-64)
شکل 4-8: سمت راست: تصویر کلاسیکی ویژه حالتهای مختلف. سمت چپ: تابع موج متناظر که برهمنهشی از مدارهای سیکلوترونی به شعاع l می باشند که مر کز آنها روی دایره ای به شعاع قرار دارد.
داده می شود که به این معنی است که، به ازای هر ناحیه به مساحت 2یک حالت تک الکترونی وجود خواهد داشت. همچنین با استفاده از رابطه بالا برای G می توان نشان داد که شاری که از ناحیه ای به مساحت 2 عبور می کند برابر است با:
(4-65)
که یکای شار مغناطیسی است و نشان دهنده این است که یک حالت تک الکترونی به ازای هر کوانتوم شار وجود دارد. به این ترتیب می توانیم شمار ترازهای لاندائو را با رابطه زیر به دست آوریم:
(4-66)
که ν ضریب پر شدگی برابر شمار ترازهای انرژی اشغال شده به ازای میدان مغناطیسی داده شده است. توجه کنید که هنگامی که میدان افزایش می یابد، الکترونهای بیشتر و بیشتری در یک تراز جای می گیرند. از این رو به ازای یک مقدار ν، تبهگنی حالت پایه بسیار زیاد است زیرا الکترونها در ترازهای بالاتر که به طور کامل اشغال نشده اند به شیوه های بسیاری می توانند آرایش یابند و تنها به ازای مقدار صحیح ν=n است که حالت پایه به طور یکتا مشخص می شود که در نتیجه شامل n تراز کاملا پر خواهد بود.
در پایان این بخش ذکر این نکته لازم است که تا به حال وضعیت واقعی متناظر با آزمایش هال در نظر گرفته نشده است چرا که تنها اثر میدان مغناطیسی را تاکنون واکاوی (بررسی) نموده ایم. برای توضیح نتایج مشاهده شده در آزمایش کوانتومی هال می بایست اثر یک میدان الکتریکی را نیز مورد مطالعه قرار داد که موضوع بخش بعدی است.
4-4-2 حرکت الکترون در حضور میدان الکتریکی
از آنجایی که هدف اصلی ما در این بخش بررسی وضعیت واقعی متناظر با اثر کوانتومی هال می باشد، می بایست اثر یک میدان الکتریکی که در جهت x+ اعمال می شود علاوه بر میدان مغناطیسی عمود بر صفحه دستگاه هال نیز در نظر گرفته شود (شکل 4-3). از آنجایی که دیگر تقارن دورانی برقرار نمی باشد، تکانه زاویه ای در این حالت پایسته نیست )تکانه زاویه ای با هامیلتونی جابجا نمی شود( و بنابراین پیمانه متقارن کاربرد نخواهد داشت). از این رو ما از پیمانه لاندائو استفاده خواهیم نمود که برای آن پتانسیل برداری A به شکل زیر داده می شود:
(4-67)
(0 ,BX ,0) 𝑨(𝒓)=
آشکار است که هامیلتونی دیگر حاوی مختصه y نیست و از این رو باجابجا می شود به این معنی که ثابت حرکت می باشد. بنابراین می توان هامیلتونی را به صورت زیر نشان داد:
(4-68)