سیستم ها و شبکه ها

دانلود پایان نامه

(2-4)


که در آن جمع روی i ، مربوط به بردارهای همسایه نزدیک ها و جمع روی j ، مربوط به بردارهای همسایه دوم یعنی ها می باشد. مقادیر و ها که به میزان همپوشانی اوربیتال های اتم ها در سایت ها با یکدیگر وابسته است، (معمولا ) از انتگرال های زیر به دست می آیند :
(2-5)
(2-6)
حال با تعریف عملگرهای خلق و فنای الکترونی، سهم تنگ بست هامیلتونی بر حسب عملگرهای خلق و فنای الکترون در این پایه (کوانتش دوم در پایه بلوخ) به صورت زیر نوشته می شود[10] :
(2-7)

که در آن تابع انرژی تک الکترون برانگیخته عبارت است از :
(2-8)
در سیستم هایی که هر اتم تنها یک الکترون برای رسانش به اشتراک می گذارند، چگالی الکترون های نوار رسانش به نحوی است که سطح فرمی همواره در نزدیکی حالت نیمه پر باقی می ماند[5].
و در این حالت می توان تابع انرژی را حول حالت نیمه پر بسط داد. به این تقریب، تقریب جرم مؤثر نواری گفته می شود [10]. به این خاطر که اولین جمله در بسط تابع انرژی به طور معمول متناسب با توان دوم بردار موج کریستالی است، آن را می توان به این صورت تفسیر کرد که الکترون های برانگیخته آزاد می باشند و تنها جرم آنها به نحوی که تقریب تنگ بست مقدار آن را مشخص می کند،تغییر کرده است .
(2-9)
اما گرافن آرایش منظم لانه زنبوری اتم های کربن می باشد، که در این حالت، این آرایش با در نظر گرفتن یک اتم کربن به عنوان سلول واحد، دیگر یک شبکه براوه نیست.به این معنا که نمی توان با دو بردار مستقل خطی کل شبکه را از این واحد تک اتمی ساخت.برای برون رفت از چنین مشکلی واحد شبکه که متشکل از دو اتم مجاور است را در نظر می گیریم. در این صورت با چنین زیر شبکه مثلثی را مطابق شکل با اندیس A و B و با رنگ های آبی و زرد در شکل1-4 مشخص می کنیم. واحدی در دو راستای مستقل خطی که بردارهای شبکه آن را مشخص می کند کل شبکه لانه زنبوری ایجاد می شود. شبکه این واحدهای دو اتمی یک شبکه براوه مثلثی است. به چنین ساختارهایی که در آن واحد شبکه دو اتمی باشد و به عبارتی سیستم متشکل از دو زیر شبکه است که هر کدام با یک واحد تک اتمی، یک شبکه براوه است و با یک انتقال نسبت به هم ساخته می شوند، شبکه Bipartite گفته می شود.
(2-10)
شکل های 2-1 و2-2 رفتار تابع انرژی را در ناحیه ای از شبکه وارون نشان می دهند. همان طور که از این شکل ها پیداست، صفرهای این تابع انرژی خود یک شبکه لانه زنبوری تشکیل می دهند که همان شبکه وارون است(شکل2-1). نقاط زیرشبکه های این شبکه وارون هر یک معادل با یکی از دو نقطه و هستند که در شکل 1-5 مشخص شده و بر حسب ثابت شبکه a به صورت زیر داده می شوند:
(2-11)
تابع موج برای این سیستم به صورت زیر نوشته می شود :
(2-12)
(2-13)
شکل2-1:شبکه لانه زنبوری که منجر به شبکه وارون لانه زنبوری می شود.
حال اگر هامیلتونی سیستم را در این پایه بر حسب عملگرهای خلق و فنای الکترون در حالت های بلوخ زیر شبکه های A و B، یعنی به ترتیب (و) و (و) بنویسیم، خواهیم داشت:
(2-14)
که تابع از محاسبات تنگ بست همسایه نزدیک بر حسب بردارهای و و مشخص شده در شکل 2-1 به دست می آید :