دانلود پایان نامه

در دستگاه های مقید شامل شرایط مرزی، شرایط مرزی را هم ارز با زنجیره ای نامحدود از قیود نوع دوم در نظر می گیریم که در این قیود همان طور که در بخش قبل ذکر شد از بررسی سازگاری شرایط مرزی با هامیلتونی کل به دست می آید. در نظریه میدان های معمولی شرایط مرزی ترکیب خطی از میدان ها و تکانه های هم نوع آنها هستند و هامیلتونی کل نیز مجموع هامیلتونی کانونیک سیستم و قیود (شرایط مرزی) در ضرائبی هستند که ضرائب لاگرانژی نامیده می شوند.
روش توضیحی در بالا برای کوانتش یک ریسمان بوزونی باز که یک دستگاه (1+1) بعدی است در حضور میدان مغناطیسی B به کار رفته است و نتایج به دست آمده این است که مختصات نقاط انتهایی ریسمان پس از کوانتش جابه جا نمی شوند[12].
پیش از آن دیده شده بود که وارد کردن شرایط مرزی در معادلات حرکت در برخی از حالت های خاص ناسازگار با روابط جابجایی کانونیکی هستند [5]. جزئیات این روش و کوانتش ریسمان بوزونی در فصل پنجم ارائه خواهد شد. ما از این روش برای کوانتش میدان کلین گوردون و الکترومغناطیسی در فضای 3+1 بعدی و در حجم محدود با اعمال شرایط مرزی برای معادلات در ادامه این فصل استفاده می کنیم.روش کلی کوانتش سیستم های مقید بدین شرح است:
1- شرایط مرزی را به عنوان قیود اولیه در نظر می گیریم.
2- سازگاری قیود مذکور با هامیلتونی کل (HT) را حساب می کنیم. این کار باعث ایجاد زنجیره نامحدود قیود می شود که نوع دوم هستند.
3- قیود را بر کلی ترین بسط مولفه های میدان اعمال می کنیم.
این بسط به تناسب شکل مرزها و تقارن مسئله می تواند بسط فوریه، بسط- فوریه و بسط برحسب هر دسته از توابع تعامد مناسب باشد.
4- اعمال قیود باعث حذف برخی از مولفه های میدان و رفتن به فضای فاز کاهش یافته می شود.
وقتی قیود نوع دوم در سیستم وجود دارد ابتدا باید قید نوع دوم را به عنوان متغیرهای اضافی از سیستم حذف کنیم تا فضای فاز کاهش یافته را داشته باشیم.
5- از کروشه دیراک به جای کروشه پواسون برای فضای فاز کاهش یافته استفاده می کنیم.
این کار ضمن حفظ دینامیک سیستم، ساختار پواسون فضای فاز را به نحوی حفظ می کند که قیود نوع دوم به طور قوی می تواند فضای فاز کنار گذاشته شود[4].
قبل از اعمال کروشه دیراک، با استفاده از روابط اساسی، کروشه پواسون بین ضرائب را در بسط مولفه های میدان محاسبه می کنیم و نشان می دهیم که ضرائب بسط جفت کانونیک یکدیگرند.
در نهایت برای رفتن به حوزه کوانتومی کروشه دیراک تبدیل به جابه جاگر و مولفه های میدان به عملگر بدل می شوند.
در کلیه روش هایی که برای کوانتش سیستم ها (چه مقید و چه غیر مقید) به کار رفته است از معادلات حرکت در فرایند کوانتش استفاده نمی شود. پس در کوانتش به حل کامل دستگاه نیازی نیست، بلکه دینامیک دستگاه فقط تا حد بررسی سازگاری قیود اهمیت دارد [5].
حال به بررسی کوانتش میدان های کلین گوردون و الکترومغناطیس با در نظر گرفتن قیود دیراک به عنوان شرایط مرزی می پردازیم.
2-3 کوانتش میدان کلین گوردون در حجم محدود با استفاده از قیود دیراک
2-3-1 حل معادله میدان کلین گوردون
اگر یک میدان کلین گوردون کلاسیک با چگالی لاگرانژی:
(2-19) £
را در نظر بگیریم می توان با استفاده از £ لاگرانژی زیر را بدست آورد[74]:
(2-20)
حال با استفاده از معادله اویلر- لاگرانژ: