دانلود پایان نامه
شکل2-3 : در حوالی نقاط و تابع انرژی دو مخروط متقارن را تشکیل می دهد که با افزایش انرژی تقارن استوانه ای از بین می رود.
در ساختار شبکه لانه زنبوری هر اتم کربن از طریق پیوند به سه اتم همسایه متصل است[8]. پیوند نتیجه هیبریداسیون برای اوربیتال های،، سه الکترون ظرفیتی (والانس) است.
چهارمین الکترون ظرفیتی در هر اتم در اوربیتال که عمود بر صفحه گرافن است، می باشد. هم پوشانی اوربیتال های موجب تشکیل پیوندهای اضافی میان اتم های مجاور می شود. هم پوشانی اوربیتال ها در پیوند عموما کم است و در نتیجه این پیوند ضعیف می شود. به همین دلیل در حالی که الکترون های دیگر اتم شدیدا تحت تاثیر هسته های مجاور و کاملا جایگزیده اند، الکترون اوربیتال به واسطه جهش میان اتم ها به حالت های گسترده و یک نوار انرژی منجر می شود و خواص ترابردی گرافن هم توسط همین الکترون های غیرجایگزیده مشخص می شود و با توجه به اینکه دو الکترون در هر سلول واحد داریم، باید دو باند که ، هستند،وجود داشته باشند که مربوط به باند ظرفیت و مربوط به باند رسانش است.شکل 2-3 ساختار باندی کامل گرافن را نشان می دهد. شکل متمرکز شده، ساختار باندی نزدیک یکی از نقاط دیراک را نشان می دهد. همان طور که واضح است طیف در نزدیکی نقاط دیراک به شکل مخروطی با رابطه پاشندگی خطی است که این ساختار نواری، در واقع یک نیمرسانای بدون گاف را مشخص می کند. تعداد حالت های هر نوار انرژی برابر تعداد نقاط یک ناحیه بریلوئن در شبکه معکوس و آن هم برابر با تعداد نقاط شبکه است. بنابراین چون به ازای هر نقطه یک الکترون داریم، در دمای صفر، نوار پایینی ( نوار ظرفیت) با انرژی های منفی کاملا پر و نوار بالایی (نوار هدایت) خالی است و انرژی فرمی دقیقا در نقطه E=0 یعنی بین دو نوار قرار می گیرد. به این ترتیب در واقع سطح فرمی تنها دو نقطهو موسوم به نقاط دیراک خواهد بود. از روی ساختار نواری، تکانه برانگیختگی های انرژی پایین در نزدیکی سطح فرمی در نزدیکی نقاط و قرار می گیرد. بنابراین در فضای تکانه دو ناحیه جدا از هم با طیف مخروطی شکل وجود خواهد داشت که از آنها به نام والی یاد می کنیم. اصولا به تعداد نامتناهی نقطه دیراک وجود دارد ولی چون تنها نقاط درون یک ناحیه بریلوئن مستقل هستند با محدود شدن به ناحیه اول بریلوئن تنها دو نقطه دیراک و باقی می مانند. در واقع باند رسانش و ظرفیت در شش نقطه که سه تا از این نقاط برابر و سه تای دیگر برابر هستند، به هم می رسند که گوشه های ناحیه بریلوئن هستند و در نزدیکی این نقاط رابطه پاشندگی خطی است.
حال اگر به نحوی انرژی فرمی سیستم را بیشتر یا کمتر کنیم، سطح فرمی ایجاد می شود که در انرژی های کم دارای دو قسمت است : دو دایره دوار یکی حول و دیگری حول ، با تقریب خوبی در انرژی های کم می توان گفت که سطوح مجزای فرمی حول این نقاط دارای تقارن استوانه ای هستند که البته همان طور که از شکل 2-1 پیداست، این تقریب برای انرژی های بزرگتر از حدودا یک الکترون ولت درست نخواهد بود. با افزایش انرژی فرمی، رفته رفته سطوح (منظورمان در دو بعد همان منحنی هاست) دوار فرمی شکل مثلث گونه ای به خود می گیرد.
شکل2-4 کانتور منحنی های انرژی ثابت در قسمتی از شبکه وارون
شکل 2-5: کانتور منحنی های انرژی ثابت در نیمه ای از ناحیـه اول بریلوئن که در شکل 2-4 با مـثلث سفید رنگ تمییز داده شده اسـت. رفتـه رفته با افزایـش انرژی شکل سطح فرمی از حالت دوار به حالت مثلثی تغییر شکل می دهد.
معادله دیراک که توسط پائول دیراک در سال 1928 فرمول بندی شد و ذرات کوانتوم نسبیتی با اسپین 2/1، مانند الکترون ها را توصیف می کند. خصوصیت اساسی طیف دیراک امکان وجود پاد ذرات است، که از اصول موضوعه مکانیک کوانتوم و نظریه نسبیت به دست می آید. به طور خاص حالات با انرژی های مثبت و منفی (الکترون ها و پوزیترون ها)، به طور مطلوبی به هم مربوط هستند (همیوغ اند) و با مولفه های مختلف یک تابع حالت اسپینوری توصیف می شوند. این خصوصیت اساسی معادله دیراک اغلب به تقارن مزدوجی– بار شناخته می شود.
برای ذرات دیراک با جرم m یک گاف انرژی بین کمیته انرژی الکترون () و انرژی بیشینه پوزیترون ()وجود دارد. وقتی انرژی الکترون E >>(خیلی بزرگ) باشد انرژی به صورت خطی با بردار موج k وابسته است.
برای فرمیون های دیراک بدون جرم گاف انرژی صفر است و این رابطه پاشندگی خطی را در هر انرژی ای برقرار می کند. در این حالت، ارتباط درونی بین اسپین و حرکت ذرات وجود دارد. اسپین فقط می تواند در راستای انتشار (برای ذره) یا خلاف آن (برای پاد ذره) جهت گیری کند. در عوض، اسپین ذرات جرم دار می توانند در هر راستایی دو مقدار تصویر شده داشته باشند.
بنابراین رابطه پاشندگی خطی برای گرافن که نتیجه ای از ساختار شبکه ای لانه زنبوری آن است، نشان دهنده این است که شبه ذرات گرافن مانند ذرات نسبیتی بدون جرم (مانند فوتون) رفتار می کنند. اگر چه سرعت حامل ها کوچک تر از c است، ولی در معادله دیراک دو بعدی صدق می کنند و به گونه ای رفتار می کنند که گویی ذرات نسبیتی بدون جرم هستند اما سرعت فرمی نقش سرعت نور را دارد. ولی الکترون ها واقعا بدون جرم نیستند و این اساسا به خاطر این واقعیت است که جرم مؤثر پارامتری است که برای توصیف واکنش الکترون با بردار موج به نیروی اعمال شده، به کار می رود و صفر شدن جرم مؤثر نشان دهنده ثابت بودن سرعت برای الکترون ها در گرافن است و این یعنی اینکه الکترون ها به نیروی اعمال شده واکنش نشان نمی دهند و خواص ترابردی آن ها با ذرات بدون جرم، مانند فوتون یکسان است. نکته جالب این است که با وجودی که فرمیون های دیراک بدون جرم یک مثال عمومی کتاب های درسی هستند، هیچ گاه در طبیعت مشاهده نشده بودند و گرافن برای اولین باراین امکان منحصر به فرد را به وجود آورده است.
پس همان طور که مشخص شد گرافن با بقیه سیستم های ماده چگال تفاوت دارد. در فلزات معمول و نیمرساناها خواص الکترونی مواد توسط شبه ذراتی توصیف می شود که به صورت الکترون های غیر نسبیتی با جرم محدود هستند، از معادله شرودینگر پیروی می کنند و رابطه پاشندگی آن ها به صورت سهمی ( جرم مؤثر است که برهم کنش بین الکترون ها را هم به حساب می آورد). الکترون ها و حفره ها هر کدام جداگانه در معادله شرودینگر صدق می کنند و هیچ ارتباطی با یکدیگر ندارند و با جرم مؤثر متفاوتی توصیف می شوند. ولی در گرافن شبه ذرات مانند ذرات نسبیتی بدون جرم رفتار می کنند و از معادله دیراک پیروی می کنند. رابطه پاشندگی آن ها خطی است ، الکترون ها و حفره ها به هم جفت شده اند و حالت سیستم توسط تابع موج اسپینوری بیان می شود. هر چند که هیچ مشخصه نسبیتی برای الکترون و حرکت آن در حوالی اتم کربن وجود ندارد، برهم کنش آن ها در حضور شبکه لانه زنبوری گرافن، شبه ذرات جدیدی را که در حد انرژی های کم با دقت خوبی از معادله دیراک (1+2) بعدی با سرعت متوسط حدود m/s 106ارائه می دهد. چنین شبه ذراتی را فرمیون های دیراک بدون جرم می نامیم که الکترون هایی هستند که جرم سکون خود را از دست داده اند] 18 [.
2-2 تونل زنی
طبق اصل عدم قطعیت ما همزمان قادر به اندازه گیری مکان و تکانه یک سیستم نیستیم. امکان دارد با دانستن انرژی ذره آزاد و تکانه آن عدم قطعیت مکان ذره به حدی باشد که از سد پتانسیل عبور کرده باشد و بالعکس با آگاهی از مکان ذره در آن صورت، ما اطلاعی از تکانه آن نداریم و احتمال دارد که ذره را در آن طرف سد پتانسیل ببینیم. در سیستم های کلاسیکی وقتی یک ذره با سد پتانسیل برخورد کند در صورتی که انرژی آن کمتر از سد پتانسیل باشد بازتاب پیدا کرده و از سد عبور نمی کند. اسکار کلاین در سال 1929 به نتایج جالبی از تونل زنی الکترون ها از سد پتانسیل دست یافت که در مورد معادله های نسبیتی دیراک هم صادق بود [32].
یکی از نتایج نظریه نسبیتی کوانتومی دیراک که توسط کلاین مطرح شد نشان می دهد که ضریب عبور ذره ای نسبیتی با انرژی سکون mc2 از سد پتانسیل v0 که v0>2mc2 برای زوایای نزدیک به عمود یک است و با افزایش v0 به یک نزدیک تر می شود. و در پتانسیل بینهایت تمام الکترون ها از سد پتانسیل عبور می کنند هر چند بعدها به دلیل عدم شفافیت در محاسبات او و همچنین نظریه هایی که در فیزیک نظریه میدانها مطرح شده بود، مسئله عبور ذرات نسبیتی از درون یک پله پتانسیل الکتریکی به نام پارادوکس کلاین مطرح گشت [33]. شرط پتانسیلی که در بالا برای بروز چنین پدیده ای ارائه شد برای ذرات در دسترس مثل الکترون های آزاد در آزمایشگاه های فیزیک انرژی بالا معادل به دستیابی به شرایطی است که در آن باید تغییرات بسیار شدید پتانسیل الکترواستاتیکی را در فاصله ای از مرتبه آنگستروم ایجاد کرد که این به عنوان مثال در حوالی یک هسته با عدد اتمی Z>170 امکان پذیر می باشد که عملا غیر قابل دسترسی در آزمایشگاه های پیشرفته امروزی است.
شکل2-6 برخورد الکترون با سد پتانسیل
کشف گرافن[15] .و تطابق تصادفی نظریه مؤثر برای توصیف حامل های کم انرژی در گرافن با نظریه کوانتومی نسبیتی دیراک و در نتیجه تقارن کامل بین الکترون ها و حفره ها در این سیستم این نوید را می دهد که بتوان انتظار بروز چنین پدیده ای را برای این حامل ها با پتانسیل های الکترو استاتیکی که دست یابی به آنها کار روزمره آزمایشگران فیزیک ماده چگال است را داشت [13]. در واقع به دلیل بدون جرم بودن شبه ذرات در گرافن شرط پتانسیل همواره برقرار است.
2-3 خاصیت مغناطیسی و سهم الکترون های در اطراف سطح فرمی
برای بررسی این حالات مجاز در بلور میتوان منحنی DOS مربوط به کل بلور، هر یک از اتمهای موجود در بلور و یا سهم مختلف هر اوربیتال مربوط به اتمی خاص را بررسی کرد. منحنی چگالی حالات کل به ازای اسپینهای بالا و پایین(شکل 2-7) و چگالی حالتهای مربوط به اوربیتالهای SوP اتمهای کربن(شکل 2-8) را در گرافن رسم کردیم.
نمودار2-1 منحنی چگالی حالات کل مربوط به الکترونهای با اسپین بالا و پایین

مطلب مرتبط :   تعریف مسئولیتپذیری اجتماعی و مسئولیت اجتماعی سازمان

نمودار2-2 منحنی چگالی حالات مربوط به (الف) اوربیتالهای S وP هر یک از اتمهای کربن و (ب) Pz وPx+Py هر اتم
همان طور که از نمودار2-2 (الف) و (ب) بر میآید چگالی حالات مربوط به الکترونهای با اسپین بالا و پایین با هم برابرند، ممان مغناطیسی کل را برابر صفر بدست آوردیم. پس نتیجه میگیریم که گرافن تک لایه یک ماده غیر مغناطیسی است.
همان گونه که از نمودار2-2 الف و ب معلوم است سهم الکترونی در اوربیتالهایP در حالات اطراف انرژی فرمی خیلی بیشتر از الکترونهای اوربیتال S است، همچنین چگالی حالات مربوط به اوربیتال Pz در اطراف انرژی فرمی بیشتر از سهم مربوط به اوربیتالهای Px+Py است.این نتیجه را اینگونه میتوان تفسیر کرد: هر یک از اتمهای کربن چهار الکترون ظرفیت دارند، پس در لایه ظرفیت خود یک اوربیتال S و سه اوربیتال P دارند. الکترونهای موجود در اوربیتالهای S ودو اوربیتال PxوPy پیوند کووالانسی تشکیل داده و به سختی مقید به اتمهای کربن در صفحه گرافن هستند پس سهم کمی در رسانش خواهند داشت. الکترون اوربیتال Pz باقی مانده که در راستای عمود بر صفحه گرافن جهت گیری میکند، همچنین قابلیت هیبرید شدگی از نوع (برای الکترونهای ظرفیت) و از نوع(برای الکترونهای رسانش) را دارد، از آنجایی که در گرافن تک لایه این الکترون پیوندی تشکیل نخواهد داد و آزاد باقی میماند وظیفه رسانش را بر عهده میگیرد.