دینامیکی و وابستگی

دانلود پایان نامه

لازم به ذکر است که در معادله بالا 𝑣 سرعت الکترون در جهت عمود بر میدان الکتریکی است که سرعت سوق نامیده می شود. بنابراین می توان گفت که مسیر حرکت، برهمنهشی از سرعت سوق و حرکت سیکلوترونی الکترون می باشد. اینک ما قادر هستیم که مقاومت هال یک گاز الکترونی دو بعدی را محاسبه نماییم. در این حالت الکترونها میانگین سرعتی برابر دارند و از این رو با استفاده از قانون اهم و رابطه میتوان مولفه های مختلف تانسور مقاومت ویژه را به صورت زیر بدست آورد:
(4-16)

بنابراین، مقاومت هال که با مقاومت ویژه هال یکسان خواهد بود [17,18] با رابطه زیر داده می شود:
)4-17)
همانگونه که روشن است، هر دوی,, که به میدان مغناطیسی، چگالی حاملهای بار و به علامت حاملهای بار بستگی دارند، به صورت یکنواخت با میدان مغناطیسی تغییر می کنند که به هیچ وجه پدیدار شدن سطوح مسطح را در شکل (4-1) توضیح نمی دهد. از این رو مکانیک کلاسیک قادر نیست که اثر کوانتومی هال را توصیف کند و از این رو در بخش بعد به منظور توصیف این اثر از مکانیک کوانتومی کمک خواهیم گرفت.
4-4-1 حرکت الکترون در مکانیک کوانتومی
هامیلتونی مورد نظر در مکانیک کوانتومی به صورت زیر داده می شود:
(4-18)
𝐻= (𝒑 𝑨 ) 2+ g𝜇𝐵𝑠𝐵
که مگنوتون بوهر و نسبت ژیرومغناطیسی است که برای الکترون در خلا برابر 2 است. خاطرنشان می کنیم که در اینجا از جمله دوم می توان صرف نظر کرد چرا که این جمله تنها وابستگی اسپینی را نشان می دهد که در بسیاری از کتب به آن پرداخته شده است [19]. اکنون در ادامه می توان هامیلتونی بالا را بسط داد و آن را به شکل زیر نوشت:
(4-19)

مطلب مرتبط :   منابع مقاله درباره تعلیم و تربیت و امام حسن (ع)

در اینجا پیش از این که به بحث در مورد جواب های این هامیلتونی بپردازیم، ابتدا می بایست پتانسیل برداری را که میدان مغناطیسی یکنواخت B=Bz را می دهد مشخص نماییم. توجه کنید که در حالت کلی پتانسیل برداری کمیتی یکتا نیست زیرا می توان میدان مغناطیسی B را بر حسب آن به شکل زیر بیان کرد:
شکل 4-7 نمایش شماتیک آزمایش هال.
(4-20)
که تابعی دلخواه از مختصه مکانی است. از این رو هامیلتونی ناوردای پیمانه ای می باشد به این معنی که تحت تبدیل زیر تغییر نخواهد کرد.
(4-21)
در ادامه خاطر نشان می نماییم که به طور معمول دو پیمانه لاندائو و پیمانه متقارن که به ترتیب با و نشان داده می شوند مورد استفاده قرار می گیرند. آشکار است که هر دو انتخاب، میدان مغناطیسی مشابه:
(4-22) 𝑩= 𝛁×𝑨(𝒓)
را خواهند داد. اکنون به منظور بدست آوردن عملگر سرعت، که همانگونه که در ادامه نشان خواهیم داد با تکانه کانونیک متناسب نیست، می بایست پتانسیل برداری را که میدان مغناطیسی B=Bz را می دهد، مشخص نماییم. در واقع می توان نشان داد که تکانه کانونیک با هامیلتونی جا به جا نمی شود، هر چند سیستم مورد نظر دارای تقارن انتقالی باشد.از این رو با استفاده از تصویر هایزنبرگ [17]. می توانیم عملگر سرعت بصورت زیر به دست آوریم :
(4-23)
که نشان می دهد که سرعت در اینجا مانند همتای کلاسیکی خودمتناسب با تکانه کانونیک نیست. بنابراین، ما می توان عملگر تکانه دینامیکی را به صورت زیر تعریف کرد: