دانلود پایان نامه درباره پایان نامه و مؤلفه های

دانلود پایان نامه

فصل دوم این پایان نامه به معرفی دستگاه های مقید، لاگرانژی های تکین، قیود نوع اول و دوم، قیود اولیه و ثانویه کروشه های پواشون و دیراک و کوانتش سیستم های مقید اختصاصی داده شده است،در این فصل روش کلی کوانتش سیستم های مقید را این چنین در کلیه میدان های اسکالر و الکترومغناطیسی به کاربرده ایم:
ابتدا شرایط مرزی را به عنوان قیود نوع اول در نظر گرفته و سازگاری قیود مذکور با هامیلتونی کل را محاسبه و سپس این قیود را بر کلی ترین بسط مؤلفه های میدان اعمال کرده ایم. اعمال قیود سبب حذف بعضی از مؤلفه های میدان و رفتن از فضای فاز نرمال به فضای فاز کاهش یافته می شود،‌ که در مورد فضای فاز نرمال کروشه پواسون ولی در مورد فضای فاز کاهش یافته از کروشه دیراک استفاده شده است و پس از نشان دادن جفت کانونیک بودن و تبدیل کروشه دیراک به جابه جاگرها مؤلفه های میدان را حساب می کنیم.
روش کلی فوق برای کوانتش میدان کلین گوردون و الکترومغناطیس در ادامه این فصل به کار رفته است که این کوانش در حجم محدود و با استفاده از قیود دیراک می باشد، در این بخش از نتایج به دست آمده از پایان نامه [4] استفاده شده است. سپس از میدان های به دست آمده در این بخش، در فصل چهارم استفاده کرده و با توجه به میدان های فوق انرژی خلاء و انرژی کل میدان های مذکور را محاسبه کرده و پس از اعمال فرایند منظم سازی و اختلاف انرژی فضای آزاد و فضای همراه با شرایط مرزی، با مشتق گیری نیروی کازیمیر متناظر برای هر میدان را به دست آورده ایم.
2-1 معرفی دستگاه های مقید
2-1-1 دستگاه های تکین و قیود
به طور کلی طبیعت در مقیاس میکروسکوپی با مکانیک کوانتومی توصیف می شود. برای بررسی میدان ها و برهم کنش بین آنها باید از تئوری کوانتومی استفاده کرد. موفقیت های نظریه های کوانتومی محدود است . گرچه نظریه های میدان کوانتومی فقط برای میدانهای کوانتومی ساده شناخته شده، با این وجود بیشتر نظریه های کوانتومی را می توان برحسب مدلهای کلاسیک به وجود آورد[69]. به طور کلی یک مدل کلاسیک با یک کنش (و یا لاگرانژی) تعریف می شود.
برای ساختن نظریه کوانتومی متناظر با یک مدل کلاسیک به یک دستورالعمل مشخص نیاز است تا بتوان جبر جابجایی عملگرهای کوانتومی نظیر کمیتهای کلاسیک را به وجود آورد[70].
در رهیافت لاگرانژی با یک دستگاه غیر نسبیتی با تعداد درجات آزاد محدود (k تا) ،معادله ، را داریم که S معرف کنش و L لاگرانژی حرکت می باشد و اگر لاگرانژی را به ازای چگالی لاگرانژی £ بیان کنیم معادله زیر را خواهیم داشت:
(2-1) £
بنابراین معادله اویلر- لاگرانژ این گونه نوشته می شود:
(2-2)
معادله (2-2) را تنها در صورتی می توان به طور یکتا برای شتاب ها حل کرد که ماتریس متشکل از مشتق دوم لاگرانژی نسبت به سرعتها (معروف به ماتریس هسیان) یعنی:
(2-3)
دترمینان غیر صفر( ) داشته باشد[71]. بنابراین لاگرانژی استاندارد و دستگاه غیر مقید است اگر با حل معادلات حرکت، کلیه شتاب ها بر حسب مختصه ها و سرعت ها به دست آیند. همچنین در رهیافت هامیلتونی با استفاده از تعریف تکانه ها:
(2-4)
می توان کلیه سرعتها را به صورت توابعی از مختصه ها و تکانه ها به دست آورد و بدین ترتیب، هامیلتونی دستگاه این گونه تعریف می شود:
(2-5)
اما در صورتی که دترمینال هسیان صفر باشد ( یعنی دستگاه مقید و لاگرانژی دستگاه تکین باشد) به دلیل غیر استاندارد بودن لاگرانژی تکانه ها توابع مستقلی از سرعتها نخواهند بود. به همین دلیل تنها تعدادی از سرعتها به صورت توابعی از مختصه ها و تکانه ها از رابطه (2-4) به دست می آیند.
بنابراین در لاگرانژی های تکین توابع معینی از مختصه ها و تکانه ها به دلیل عدم استقلال تکانه ها صفر هستند. این توابع (از متغیر های فضای فاز) قیود اولیه نام دارند:
(2-6)
که M تعداد قیود اولیه می باشد.
پس به طور خلاصه در لاگرانژی یک دستگاه تکین، در فرمول بندی لاگرانژی مختصات و سرعتها و نیز در فرمول بندی هامیلتونی مختصات و تکانه ها از هم مستقل نیستند و روابطی به نام “قید” بین آنها به وجود خواهد آمد. برای این دستگاه های مقید و یا لاگرانژی های تکین مساله یکتایی و وجود
جواب های معادله حرکت از اهمیت ارزش ویژه ای برخوردار است.
در مورد دستگاه های غیر مقید یکی از روشهای کوانتش، کوانتش کانونیک است که در این روش برای کوانتیده کردن دستگاه کروشه پواسون کمیت های کلاسیک به جابجاگرهای کوانتومی نظیر آن ها تبدیل می شود. کروشه پواسون دو تابع ایجاد شده از q و p با نامهای p(q,p) و g(q,p) این گونه تعریف می شود [69]: