دانلود پایان نامه
2-1- 2 قیود نوع اول و نوع دوم
علاوه بر تقسیم بندی قیود به اولیه و ثانویه، تقسیم بندی مهم تر دیگری نیز وجود دارد که نه تنها روی قیود بلکه روی توابع فضای فاز صورت می گیرد و نقش مهم در نظریه دستگاه های تکین ایفا
می کند.کمیت R(q,p) از فضای فاز را نوع اول می گوییم اگر کروشه پواسون آن با تمام قیود به طور ضعیف صفر شود:
(2-13)
در غیر این صورت R(q,p) را نوع دوم گوییم.کروشه پواسونی که به طور ضعیف صفر باشد به طور قوی برابر با ترکیب خطی از قیود دستگاه است:
(2-14)
پس قیدی نوع اول است که کروشه پواسون آن با کلیه قیود به طور ضعیف صفر باشد.همچنین کروشه پواسون دو کمیت نوع اول نیز یک کمیت نوع اول است[71].
2-1-3 کروشه دیراک
در این قسمت هدف بررسی وجود قیود نوع دوم در دستگاه مقید است.وجود قیود نوع دوم در یک دستگاه به معنای حضور تعدادی درجه آزادی اضافی است. وجود قیود نوع دوم باعث می شوند که نتوان به راحتی برای آنها کروشه پواسونی مناسبی همچون (2-7) پیدا کرد. حال اگر دستگاه مقیدی را در نظر گرفته که تعدادکل قیود آن به صورت زیر باشد:
(2-15)
و فرض کنیم که تعدادی از این قیود نوع دوم و تعدادی هم نوع اول باشند در ابتدا با ساختن ترکیب های مناسب از قیود نوع دوم که منجر به قیود نوع اول می شود تعداد قیود نوع دوم را تا حد امکان کاهش می دهیم. سپس کل قیود نوع دوم که قابل تقلیل نیستند به صورت زیر نشان داده می شود:
(2-16)
دترمینان ماتریس پاد متقارن که از کروشه پواسون دو به دوی قیود نوع دوم تشکیل می شود همان طور که در مرجع [69] اثبات شده است حتی به طور ضعیف هم صفر نیست و چون دترمینان یک ماتریس پاد متقارن با بعد فرد لزوماً صفر است پس می توان نتیجه گرفت که تعداد قیود نوع دوم حتماً باید زوج باشد. از صفر نبودن دترمینان ذکر شده نتیجه می شود که می توان ماتریس را به دست آورد به گونه ای که:
(2-17)
حال کروشه دیراک برای توابع فضای فاز f و g به صورت زیر تعریف می شود:
(2-18)
با محاسبه مستقیم نشان داده می شود که کروشه دیراک تعریف شده (2-18) تمامی خواص کروشه های پواسون را داراست [69]. یعنی خواص پادتقارنی و خطی بودن را دارا بوده و از قاعده لایبنیتز و اتحاد جاکوبی پیروی می کند. نکته دیگر این که کروشه دیراک یک تابع دلخواه با هر یک از قیود نوع دوم صفر است، پس قیود نوع دوم در فرایند محاسبه کروشه های دیراک می توانند متحد با صفر در نظر گرفته شوند، یعنی استفاده کردن از یک کروشه دیراک به معنای صفر قرار دادن قیود نوع دوم به صورت قوی است[72].

مطلب مرتبط :   مقاله دوران پیش از تاریخ و فرآورده های لبنی

2-2 کوانتش سیستم های مقید
در دستگاه های مقید شامل شرایط مرزی، شرایط مرزی را هم ارز با زنجیره ای نامحدود از قیود نوع دوم در نظر می گیریم که در این قیود همان طور که در بخش قبل ذکر شد از بررسی سازگاری شرایط مرزی با هامیلتونی کل به دست می آید. در نظریه میدان های معمولی شرایط مرزی ترکیب خطی از میدان ها و تکانه های هم نوع آنها هستند و هامیلتونی کل نیز مجموع هامیلتونی کانونیک سیستم و قیود (شرایط مرزی) در ضرائبی هستند که ضرائب لاگرانژی نامیده می شوند.
روش توضیحی در بالا برای کوانتش یک ریسمان بوزونی باز که یک دستگاه (1+1) بعدی است در حضور میدان مغناطیسی B به کار رفته است و نتایج به دست آمده این است که مختصات نقاط انتهایی ریسمان پس از کوانتش جابه جا نمی شوند[12].
پیش از آن دیده شده بود که وارد کردن شرایط مرزی در معادلات حرکت در برخی از حالت های خاص ناسازگار با روابط جابجایی کانونیکی هستند [5]. جزئیات این روش و کوانتش ریسمان بوزونی در فصل پنجم ارائه خواهد شد. ما از این روش برای کوانتش میدان کلین گوردون و الکترومغناطیسی در فضای 3+1 بعدی و در حجم محدود با اعمال شرایط مرزی برای معادلات در ادامه این فصل استفاده می کنیم.روش کلی کوانتش سیستم های مقید بدین شرح است:
1- شرایط مرزی را به عنوان قیود اولیه در نظر می گیریم.
2- سازگاری قیود مذکور با هامیلتونی کل (HT) را حساب می کنیم. این کار باعث ایجاد زنجیره نامحدود قیود می شود که نوع دوم هستند.