دانلود پایان نامه

(2-7)
ولی در مورد دستگاه های مقید،کوانتیده کردن در مقایسه با دستگاه های غیر مقید اندکی متفاوت است. بحث در مورد دستگاه های مقید زمانی بیشتر اهمیت یافت که کوشش هایی برای کوانتش میدان های پیمانه ای مثل الکترومغناطیس گرانش صورت پذیرفت [69].
بحث درباره دستگاه های مقید در سالهای اول دهه 50 قرن بیستم آغاز شد. دیراک و برگمن حین مطالعه درباره فرمول بندی کانونیک میدان های گرانش، این بحث را ارائه کردند. ولی به طور رسمی، دیراک کار فرمول بندی این دستگاه ها را برای لاگرانژی هایی با درجات آزادی محدود انجام داد [4]. هدف او در این کار رسیدن به روشی استاندارد برای هامیلتونی کردن یک لاگرانژی تکین بود تا بتواند در نهایت از این فرمول بندی جدید در کوانتش این دستگاه ها استفاده کند[69].
اگر از دید نظریه های پیمانه ای به بحث دستگاه های مقید نگاه کنیم مسئله از این قرار است:
یک نظریه پیمانه ای را می توان نظریه ای فرض کرد که متغیرهای دینامیکی آن نسبت به چهارچوب مرجعی توصیف می گردند که انتخاب آن در هر لحظه از زمان اختیاری می باشد. ولی در این بین تنها آن دسته از متغیرها از لحاظ فیزیکی اهمیت پیدا می کنند که نسبت به این انتخاب آزادانه چهارچوب موضعی ناوردا باشند[72]. یک ویژگی مهم یک نظریه پیمانه ای این است که جوابهای کلی معادلات حرکت (در هر دو رهیافت لاگرانژی و هامیلتونی) برای یک نظریه پیمانه ای شامل توابع دلخواهی از زمان است. وجود این توابع سبب می شود که متغیرهای فضای فاز (تکانه ها و یا سرعت ها) از هم مستقل نباشند و قیودی بین آنها برقرار باشد. بنابراین از بحث بالا می توان به این نتیجه رسید که هردستگاه پیمانه ای همواره یک دستگاه مقید است (گرچه عکس این گفته همواره صحت ندارد) [73]. حال به مبحث اصلی خود که دستگاه های مقید بود برمی گردیم.
کوانتیده کردن دستگاهی با قیود نوع اول با اعمال شرایط قیدی روی فضای حالتها صورت می پذیرد. از سوی دیگر قیود نوع دوم در مدل کلاسیک باعث حذف برخی درجات آزادی می گردند و کوانتش آنها از طریق در نظر گرفتن کروشه های دیراک به جای کروشه های پواسون و تبدیل آنها به جای جابه جاگرهای کوانتومی انجام می پذیرد.
با توجه به معادلات (2-4) و (2-6)، می توان گفت که در نوشتن قیود اولیه از معادلات حرکت
(اویلر- لاگرانژ) استفاده نمی شود و تنها تعریف تکانه موردنظر بوده است. قیود اولیه در طول زمان باید ثابت باشد یعنی تحول زمانی قیود اولیه باید صفر باشد. شرط سازگاری قیود اولیه ما را به سوی یک سری قیود جدید به نام قیود ثانویه هدایت می کند. اگر هامیلتونی کل دستگاه را این گونه تعریف کنیم:
(2-8)
که در آن:
(2-9)
Hc هامیلتونی کانونیک دستگاه و um ها ضریب نامعین لاگرانژی هستند. حال تغییرات زمانی کمیت دلخواهی چون g از فضای فاز را می توان به شکل:
(2-10)
نوشت (که این معادله را معادله هامیلتون- دیراک گویند).به دلیل آنکه تساوی روی سطح قیدی دستگاه برقرار است نماد را تساوی ضعیف می نامیم. با توجه به رابطه (2-10) و تقاضای صفر شدن آهنگ تغییرات زمانی قیود به رابطه زیر می رسیم:
(2-11)
بنابراین:
(2-12)
با توجه به اینکه لاگرانژی در نظر گرفته شده در هیچ یک از مراحل کار نباید به معادلات حرکت ناسازگار منتهی شود،معادله (2-11) یکی از سه حالت زیر را خواهد داشت[71]:
1- معادلاتی که به طور اتحادی برقرار هستند که از این دسته معادلات اطلاعات جدیدی به دست
نمی آید.
2- به تعدادی شرط برای تعیین um ها منجر می شود.
3- معادلاتی مستقل از ضرایب um که تنها شامل رابطه ای بین مختصه ها و تکانه ها باشد به دست
می آید.
چنان چه حالت سوم اتفاق افتد به قیود جدیدی می رسیم که به آنها قیود مرتبه دوم گوییم،این قیود نیز باید ضمن حرکت صفر بمانند. بعد از به دست آمدن قیود مرتبه دوم باید سازگاری این قیود نیز تحت تحول زمانی بررسی شوند که باز هم می تواند به یکی از سه حالت ذکر شده منجر شود و در صورت به دست آمدن قید جدید دیگری (قیود مرتبه سوم) باید سازگاری آن را نیز بررسی کرد و این روند را آنقدر ادامه داد تا آنکه نهایتاً یا رابطه ای برای محاسبه um ها به دست آید و یا شرایط سازگاری به طور اتحادی برقرار شود. به مجموعه قیودی که از شرط سازگاری تحت تحول زمانی با روند ذکر شده به دست می آیند قیود ثانویه گویند.