اندازه گیری و حالت طبیعی

دانلود پایان نامه

(2-15)
که در آن همپوشانی اوربیتال اتم های B همسایه نزدیک است.
برا ی به دست آوردن طیف انرژی سیستم باید هامیلتونی را قطری کنیم، در واقع ویژه مقادیر این هامیلتونی بر حسب بردار موج شبکه طیف انرژی را به دست می دهد :
(2-16)
بنابراین داریم:
(2-17)
علامت مثبت و منفی در رابطه بالا مربوط به باند بالا و پایین است. به راحتی می توان نشان داد که طیف انرژی در نقطه k در ناحیه بریلوئن، (B.Z. : یاخته اولیه شبکه معکوس)، با بردار موج صفر می شود (همین طور در پنج گوشه دیگر شش ضلعی). ناحیه بریلوئن شش ضلعی است و در دو گوشه نا برابر باند رسانش و ظرفیت به هم می رسند. با بسط انرژی حول این نقطه، رابطه پاشندگی الکترون ها می شود :
(2-18)

که ()، نسبت به نقطه K در منطقه بریلوئن اندازه گیری می شود. رابطه 2-18، رابطه پاشندگی برای ذرات نسبیتی با سرعت نور است که این ذرات فرمیون های دیراک نامیده می شوند.
شکل 2-2 انرژی تک ذره بر حسب بردار موج در قسمتی از فضای وارون،
از آنجا که درسیستم های مورد آزمایش معمولا انرژی فرمی به اندازه کافی کوچک است، می توان رابطه کلی برای هامیلتونی را حول دو نقطه و بسط داد. کار متداولی که برای سیستم های متعارف با هامیلتونی غیر نسبیتی نیز قبلا انجام می دادیم (تقریب جرم مؤثر). با انجام چنین کاری و نگه داشتن اولین جمله در بسط تیلور مربوطه تابع داریم:
(2-19)
که در آن ماتریس پاولی و در واقع همان بردار موج است. بنابراین هامیلتونی به صورت زیر به دست می آید :
(2-20)
(2-21)

مطلب مرتبط :   منبع مقاله درمورد ناتوانی یادگیری و سبکهای یادگیری

(2-22)
واضح است که هامیلتونی مؤثر ما در اینجا از دو قسمت مجزای مشابه منطبق بر مدل ذرات دیراکی بدون جرم تشکیل شده است. یکی برای بردارهای موج حول و دیگری برای بردارهای موج شبکه حول . می توان این هامیلتونی را در پایه حقیقی یعنی بر حسب عملگرهای میدان وابسته به مختصات حقیقی ۀنوشت :
(2-23)

که در آن مولفه های میدان اول و دوم مربوط به حامل های با تکانه کریستالی حول بردار موج و است و ماتریس پائولی جمله دوم، همیوغ هرمیتی ماتریس پائولی جمله اول است.
در حالت طبیعی که هیچ الکترون اضافی در سیستم وجود ندارد، تمامی حالت های نوار ظرفیت پر و تمامی حالت های نوار رسانش خالی است، بنابراین انرژی فرمی صفر می باشد و به نحو جالبی سطح فرمی موجود نیست و در این حالت تنها نقاط فرمی خواهیم داشت که همان نقاط شبکه لانه زنبوری وارون هستند، در این حالت، هر اتم کربن یک الکترون در پیوند به اشتراک می گذارد و با توجه به تبهگنی اسپینی تنها نیمی از حالت های ممکن پر خواهد بود. با توجه به شکل2-3 پیداست که تقارن کاملی بین حالت های با انرژی مثبت و حالت های با انرژی منفی موجود است.